발표자: 정진욱
이제 어떤 상수 c 1 > 0 c 1 > 0 i = 1 , … , r i = 1 , … , r
∥ P ‾ i , 0 ∧ P ‾ i , 1 ∥ ≥ c 1 ∥ P i , 0 ∧ P i , 1 ∥ ≥ c 1
임을 보이면 되는데 여기서는 ∥ P ‾ 1 , 0 ∧ P ‾ 1 , 1 ∥ ≥ c 1 ∥ P 1 , 0 ∧ P 1 , 1 ∥ ≥ c 1 i = 1 i = 1 i i c 1 c 1
먼저 다음과 같은 변수 공간들을 고려하자.
Λ 1 : = { λ 1 ( θ ) ∈ R p : θ ∈ Θ } , Λ − 1 : = { λ − 1 ( θ ) ≡ ( λ 2 ( θ ) , … , λ r ( θ ) ) T ∈ R ( r − 1 ) × p : θ ∈ Θ } . Λ 1 := { λ 1 ( θ ) ∈ R p : θ ∈ Θ } , Λ − 1 := { λ − 1 ( θ ) ≡ ( λ 2 ( θ ) , … , λ r ( θ ) ) T ∈ R ( r − 1 ) × p : θ ∈ Θ } .
각 a ∈ { 0 , 1 } a ∈ { 0 , 1 } b ∈ { 0 , 1 } r − 1 b ∈ { 0 , 1 } r − 1 c ∈ Λ − 1 c ∈ Λ − 1
P ‾ ( 1 , a , b , c ) : = 1 ∣ Θ ( 1 , a , b , c ) ∣ ∑ θ ∈ Θ ( 1 , a , b , c ) P θ , Θ ( 1 , a , b , c ) : = { θ ∈ Θ : γ 1 ( θ ) = a , γ − 1 ( θ ) = b , λ − 1 ( θ ) = c } . P ( 1 , a , b , c ) := ∣ Θ ( 1 , a , b , c ) ∣ 1 θ ∈ Θ ( 1 , a , b , c ) ∑ P θ , Θ ( 1 , a , b , c ) := { θ ∈ Θ : γ 1 ( θ ) = a , γ − 1 ( θ ) = b , λ − 1 ( θ ) = c } .
여기서 γ − 1 ( θ ) = ( γ 2 ( θ ) , … , γ r ( θ ) ) T γ − 1 ( θ ) = ( γ 2 ( θ ) , … , γ r ( θ ) ) T f = f ( γ − 1 , λ − 1 ) f = f ( γ − 1 , λ − 1 ) Θ − 1 : = { 0 , 1 } r − 1 × Λ − 1 Θ − 1 := { 0 , 1 } r − 1 × Λ − 1 E ( γ − 1 , λ − 1 ) f ( γ − 1 , λ − 1 ) E ( γ − 1 , λ − 1 ) f ( γ − 1 , λ − 1 )
E ( γ − 1 , λ − 1 ) f ( γ − 1 , λ − 1 ) : = 1 2 r − 1 ∣ Λ ∣ ∑ ( b , c ) ∈ Θ − 1 ∣ Θ ( 1 , a , b , c ) ∣ f ( b , c ) E ( γ − 1 , λ − 1 ) f ( γ − 1 , λ − 1 ) := 2 r − 1 ∣Λ∣ 1 ( b , c ) ∈ Θ − 1 ∑ ∣ Θ ( 1 , a , b , c ) ∣ f ( b , c )
이고 a a
이제 어떤 상수 c 2 ∈ ( 0 , 1 ) c 2 ∈ ( 0 , 1 )
E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∫ ( d P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) − 1 } ≤ c 2 2 (16) E ( γ − 1 , λ − 1 ) ⎩ ⎨ ⎧ ∫ ( d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) − 1 ⎭ ⎬ ⎫ ≤ c 2 2 ( 16 )
임을 보이기만 하면 충분하다. 왜냐하면 1 의 Lemma 8, (ii)의 결과를 이용하면 위 식은
∥ P ‾ 1 , 0 ∧ P ‾ 1 , 1 ∥ ≥ 1 − c 2 > 0 ∥ P 1 , 0 ∧ P 1 , 1 ∥ ≥ 1 − c 2 > 0
을 의미하기 때문이다.
여기서 잠시 이에 대한 증명을 짚고 넘어가자면, 우선 공통의 dominating measure μ μ q 0 q 0 q 1 q 1
[ ∫ ∣ q 0 − q 1 ∣ d μ ] 2 = ( ∫ ∣ q 0 − q 1 q 1 ∣ q 1 ) 2 ≤ ∫ ( q 0 − q 1 ) 2 q 1 d μ = ∫ ( q 0 2 q 1 − 1 ) d μ [ ∫ ∣ q 0 − q 1 ∣ d μ ] 2 = ( ∫ q 1 q 0 − q 1 q 1 ) 2 ≤ ∫ q 1 ( q 0 − q 1 ) 2 d μ = ∫ ( q 1 q 0 2 − 1 ) d μ
이다. 위 식과 (16)을 이용하면 알 수 있는 사실은
E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∫ ∣ d P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) − d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∣ 2 } ≤ c 2 2 E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∫ d P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) − d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) 2 } ≤ c 2 2
이고 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면
E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∫ ∣ d P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) − d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∣ } ≤ c 2 E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∫ d P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) − d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) } ≤ c 2
또한 성립함을 알 수 있다. 여기서 total variation affinity
∥ P ∧ Q ∥ = 1 − T V ( P , Q ) ∥ P ∧ Q ∥ = 1 − T V ( P , Q )
를 이용하면 결국
E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∥ P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∧ P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∥ } ≥ 1 − c 2 E ( γ − 1 , λ − 1 ) { P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∧ P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) } ≥ 1 − c 2
를 얻게 된다. 마지막으로 P ‾ 1 , 0 P 1 , 0 P ‾ 1 , 1 P 1 , 1 P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) 1 의 Lemma 4를 이용하여
∥ P ‾ 1 , 0 ∧ P ‾ 1 , 1 ∥ ≥ E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∥ P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∧ P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∥ } ∥ P 1 , 0 ∧ P 1 , 1 ∥ ≥ E ( γ − 1 , λ − 1 ) { P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∧ P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) }
를 얻게 되므로, 증명이 마무리된다.
이제 (16)을 얻기 위해 ( γ − 1 , λ − 1 ) ( γ − 1 , λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) γ 1 = 0 γ 1 = 0
P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) = 1 ∣ Θ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ∑ θ ∈ Θ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P θ P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) = ∣ Θ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∣ 1 θ ∈ Θ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∑ P θ
이고 P θ P θ N p ( 0 , Σ ( θ ) ) N p ( 0 , Σ ( θ )) n n X 1 , … , X n X 1 , … , X n ( γ − 1 , λ − 1 ) ( γ − 1 , λ − 1 ) θ ∈ Θ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) θ ∈ Θ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) Σ ( θ ) Σ ( θ )
Σ ( θ ) = I p + ϵ n p ∑ m = 2 r γ m A m ( λ m ) , Σ ( θ ) = I p + ϵ n p m = 2 ∑ r γ m A m ( λ m ) ,
즉 θ θ λ 1 ( θ ) λ 1 ( θ ) Σ ( θ ) Σ ( θ ) P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) p p N p ( 0 , Σ 0 ) N p ( 0 , Σ 0 ) n n Σ 0 Σ 0
Σ 0 : = ( 1 0 1 × ( p − 1 ) 0 ( p − 1 ) × 1 S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) ) . Σ 0 := ( 1 0 ( p − 1 ) × 1 0 1 × ( p − 1 ) S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) ) .
여기서 S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) = { s i j } S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) = { s ij } ( p − 1 ) × ( p − 1 ) ( p − 1 ) × ( p − 1 )
s i j = { 1 i = j ϵ n p γ i + 1 = λ i + 1 , j + 1 = 10 otherwise } . s ij = { 1 ϵ n p i = j γ i + 1 = λ i + 1 , j + 1 = 10 otherwise } .
와 같이 주어진다. 여기서 i = 1 , … , p − r = p − ⌊ p / 2 ⌋ i = 1 , … , p − r = p − ⌊ p /2 ⌋ λ m i = 0 λ mi = 0 A m ( λ m ) A m ( λ m ) ϵ n p ϵ n p S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) S ( p − 1 ) × ( p − 1 )
이제 P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) c ∈ Λ − 1 c ∈ Λ − 1
Λ 1 ( c ) : = { a ∈ R p : λ 1 ( θ ) = a , λ − 1 ( θ ) = c for some θ ∈ Θ } Λ 1 ( c ) := { a ∈ R p : λ 1 ( θ ) = a , λ − 1 ( θ ) = c for some θ ∈ Θ }
를 정의하자. 또한
λ − 1 = ( λ 2 ( θ ) , … , λ r ( θ ) ) T = ( λ 2 ( θ ) T λ r ( θ ) T ) ∈ R ( r − 1 ) × p λ − 1 = ( λ 2 ( θ ) , … , λ r ( θ ) ) T = λ 2 ( θ ) T ⋮ λ r ( θ ) T ∈ R ( r − 1 ) × p
가 하나 주어졌을 때, n λ − 1 n λ − 1 λ − 1 λ − 1 2 k 2 k
n λ − 1 : = ∣ { i : ∑ m = 2 r λ m i = 2 k } ∣ n λ − 1 := { i : m = 2 ∑ r λ mi = 2 k }
이고 p λ − 1 = r − n λ − 1 p λ − 1 = r − n λ − 1 p λ − 1 p λ − 1 λ 1 λ 1 λ 1 i λ 1 i λ − 1 ∈ Λ − 1 λ − 1 ∈ Λ − 1
∣ Λ 1 ( λ − 1 ) ∣ = ( p λ − 1 k ) , p λ − 1 ≥ p 4 − 1 ∣ Λ 1 ( λ − 1 ) ∣ = ( k p λ − 1 ) , p λ − 1 ≥ 4 p − 1
가 성립함을 기억하자. 위 식의 오른쪽은 n λ − 1 ⋅ 2 k ≤ r k n λ − 1 ⋅ 2 k ≤ r k n λ − 1 ≤ r / 2 n λ − 1 ≤ r /2
p λ − 1 = r − n λ − 1 ≥ r 2 ≥ p 4 − 1. p λ − 1 = r − n λ − 1 ≥ 2 r ≥ 4 p − 1.
부등식 n λ − 1 ⋅ 2 k ≤ r k n λ − 1 ⋅ 2 k ≤ r k
λ − 1 = ( λ 2 ( θ ) T λ r ( θ ) T ) λ − 1 = λ 2 ( θ ) T ⋮ λ r ( θ ) T
에서 n λ − 1 n λ − 1
λ = ( λ 1 ( θ ) T λ − 1 ( θ ) T ) λ = ( λ 1 ( θ ) T λ − 1 ( θ ) T )
의 모든 성분을 더한 것이라는 것을 생각해보면 자명하다. 그러므로 p p Λ 1 ( λ − 1 ) Λ 1 ( λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 )
P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) = 1 ∣ Θ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ∑ θ ∈ Θ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P θ P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) = ∣ Θ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∣ 1 θ ∈ Θ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ∑ P θ
이고 P θ P θ N p ( 0 , Σ ( θ ) ) N p ( 0 , Σ ( θ )) n n X 1 , … , X n X 1 , … , X n θ ∈ Θ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) θ ∈ Θ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) Σ ( θ ) Σ ( θ )
Σ ( θ ) = I p + ϵ n p A m ( λ 1 ( θ ) ) + ϵ n p ∑ m = 2 r γ m A m ( λ m ) Σ ( θ ) = I p + ϵ n p A m ( λ 1 ( θ )) + ϵ n p m = 2 ∑ r γ m A m ( λ m )
의 형태로, 앞선 경우와는 다르게 θ θ λ 1 ( θ ) λ 1 ( θ ) Σ ( θ ) Σ ( θ ) λ 1 ( θ ) λ 1 ( θ ) ( p λ − 1 k ) ( k p λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) p p n n ( p λ − 1 k ) ( k p λ − 1 )
( 1 r T r S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) ) . ( 1 r r T S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) ) .
이때 r ∈ R p − 1 r ∈ R p − 1 k k ϵ n p ϵ n p S ( p − 1 ) × ( p − 1 ) S ( p − 1 ) × ( p − 1 )
이제 1 p.2411에서 사용한 논증을 이용한다. 우선 1 의 Lemma 9로부터 다음을 알 수 있다: 각 i = 0 , 1 , 2 i = 0 , 1 , 2 g i g i N ( 0 , Σ i ) N ( 0 , Σ i )
∫ g 1 g 2 g 0 = [ det ( I − Σ 0 − 2 ) ( Σ 1 − Σ 0 ) ( Σ 2 − Σ 0 ) ] − 1 / 2 ∫ g 0 g 1 g 2 = [ det ( I − Σ 0 − 2 ) ( Σ 1 − Σ 0 ) ( Σ 2 − Σ 0 ) ] − 1/2
이다.
이때 주어진 ( γ − 1 , λ − 1 ) ( γ − 1 , λ − 1 ) ∫ ( d P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∫ ( d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) p p N p ( 0 , Σ 0 ) N p ( 0 , Σ 0 ) n n P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) p p n n ( p λ − 1 k ) ( k p λ − 1 ) λ 1 λ 1 λ 1 ′ λ 1 ′ Λ 1 ( λ − 1 ) Λ 1 ( λ − 1 ) Σ 1 Σ 1 Σ 2 Σ 2 g i g i i = 0 , 1 , 2 i = 0 , 1 , 2 N p ( 0 , Σ i ) N p ( 0 , Σ i ) ∫ ( d P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ∫ ( d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ( ∫ g 1 g 2 g 0 ) n ( ∫ g 0 g 1 g 2 ) n R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1
R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 : = − log det { I p − Σ 0 − 2 ( Σ 0 − Σ 1 ) ( Σ 0 − Σ 2 ) } R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 := − log det { I p − Σ 0 − 2 ( Σ 0 − Σ 1 ) ( Σ 0 − Σ 2 ) }
와 같이 쓴다면, 식 (16)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
E ( γ − 1 , λ − 1 ) { ∫ ( d P ‾ ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ‾ ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) − 1 } = E ( γ − 1 , λ − 1 ) [ E ( λ 1 , λ 1 ′ ) ∣ λ − 1 { exp ( n 2 R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 ) } ] = E ( λ 1 , λ 1 ′ ) [ E ( γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ( λ 1 , λ 1 ′ ) { exp ( n 2 R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 ) } ] . (18) E ( γ − 1 , λ − 1 ) ⎩ ⎨ ⎧ ∫ ( d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) d P ( 1 , 1 , γ − 1 , λ − 1 ) ) 2 d P ( 1 , 0 , γ − 1 , λ − 1 ) − 1 ⎭ ⎬ ⎫ = E ( γ − 1 , λ − 1 ) [ E ( λ 1 , λ 1 ′ ) ∣ λ − 1 { exp ( 2 n R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 ) } ] = E ( λ 1 , λ 1 ′ ) [ E ( γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ( λ 1 , λ 1 ′ ) { exp ( 2 n R λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 ) } ] . ( 18 )
이때 λ 1 , λ 1 ′ ∣ λ − 1 Unif { Λ 1 ( λ − 1 ) } λ 1 , λ 1 ′ ∣ λ − 1 ∼ i . i . d Unif { Λ 1 ( λ − 1 )} ( γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ( λ 1 , λ 1 ′ ) ∼ Unif { Θ − 1 ( λ 1 , λ 1 ′ ) } ( γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ( λ 1 , λ 1 ′ ) ∼ Unif { Θ − 1 ( λ 1 , λ 1 ′ )} Θ − 1 ( ⋅ , ⋅ ) Θ − 1 ( ⋅ , ⋅ )
Θ − 1 ( a 1 , a 2 ) : = { 0 , 1 } r − 1 × { c ∈ Λ − 1 : ∃ θ i ∈ Θ , i = 1 , 2 , s.t. λ 1 ( θ i ) = a i , λ − 1 ( θ i ) = c } Θ − 1 ( a 1 , a 2 ) := { 0 , 1 } r − 1 × { c ∈ Λ − 1 : ∃ θ i ∈ Θ , i = 1 , 2 , s.t. λ 1 ( θ i ) = a i , λ − 1 ( θ i ) = c }
와 같이 주어져있다. Lemma 6의 결과를 이용하면 식 (18)은 아래의 식에 의해 유계이다:
E J [ exp { − n log ( 1 − J ϵ n p 2 ) } E ( λ 1 , λ 1 ′ ) ∣ J { E ( γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ( λ 1 , λ 1 ′ ) exp ( n 2 R 1 , λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 ) } ] ≤ E J [ exp { − n log ( 1 − J ϵ n p 2 ) } 3 2 − 1 ] . (20) E J [ exp { − n log ( 1 − J ϵ n p 2 ) } E ( λ 1 , λ 1 ′ ) ∣ J { E ( γ − 1 , λ − 1 ) ∣ ( λ 1 , λ 1 ′ ) exp ( 2 n R 1 , λ 1 , λ 1 ′ γ − 1 , λ − 1 ) } ] ≤ E J [ exp { − n log ( 1 − J ϵ n p 2 ) } 2 3 − 1 ] . ( 20 )
여기서 J J λ 1 λ 1 λ 1 ′ λ 1 ′ J = λ 1 T λ 1 ′ J = λ 1 T λ 1 ′
λ 1 , λ 1 ′ ∣ λ − 1 Unif { Λ 1 ( λ − 1 ) } λ 1 , λ 1 ′ ∣ λ − 1 ∼ i . i . d Unif { Λ 1 ( λ − 1 )}
임을 이용하면 각 j = 0 , … , k j = 0 , … , k
E J { I ( J = j ) ∣ λ − 1 } = ( k j ) ( p λ − 1 − k k − j ) ( p λ − 1 k ) = ( k ! ( k − j ) ! ) 2 { ( p λ − 1 − k ) ! } 2 p λ − 1 ! ( p λ − 1 − 2 k + j ) ! 1 j ! ≤ ( k 2 p λ − 1 − k ) j E J { I ( J = j ) ∣ λ − 1 } = ( k p λ − 1 ) ( j k ) ( k − j p λ − 1 − k ) = ( ( k − j )! k ! ) 2 p λ − 1 ! ( p λ − 1 − 2 k + j )! {( p λ − 1 − k )! } 2 j ! 1 ≤ ( p λ − 1 − k k 2 ) j
임을 얻게 된다. 그러므로 모든 λ − 1 λ − 1 p λ − 1 ≥ p / 4 − 1 p λ − 1 ≥ p /4 − 1
E J I ( J = j ) = E λ − 1 [ E J { I ( J = j ) ∣ λ − 1 } ] ≤ E λ − 1 { ( k 2 p λ − 1 − k ) j } ≤ ( k 2 p / 4 − 1 − k ) j E J I ( J = j ) = E λ − 1 [ E J { I ( J = j ) ∣ λ − 1 } ] ≤ E λ − 1 { ( p λ − 1 − k k 2 ) j } ≤ ( p /4 − 1 − k k 2 ) j
를 얻는다. 따라서, 식 (20)은 p p
∑ j = 0 k ( k 2 p / 4 − 1 − k ) j [ exp { − n log ( 1 − j ϵ n p 2 ) } 3 2 − 1 ] = 1 2 + ∑ j = 1 k ( k 2 p / 4 − 1 − k ) j [ exp { − n log ( 1 − j ϵ n p 2 ) } 3 2 − 1 ] ≤ 1 2 + 3 2 ( k 2 p / 4 − 1 − k ) j p 2 ν 2 j ≤ 1 2 + 3 C 2 p − ϵ j p ( ϵ / 2 ) j ≤ c 2 2 , j = 0 ∑ k ( p /4 − 1 − k k 2 ) j [ exp { − n log ( 1 − j ϵ n p 2 ) } 2 3 − 1 ] = 2 1 + j = 1 ∑ k ( p /4 − 1 − k k 2 ) j [ exp { − n log ( 1 − j ϵ n p 2 ) } 2 3 − 1 ] ≤ 2 1 + 2 3 ( p /4 − 1 − k k 2 ) j p 2 ν 2 j ≤ 2 1 + 2 3 C p − ϵ j p ( ϵ /2 ) j ≤ c 2 2 ,
이때 C > 0 C > 0 c 2 2 = 3 / 4 < 1 c 2 2 = 3/4 < 1 s 0 2 = O ( p 3 − ϵ ) s 0 2 = O ( p 3 − ϵ ) ν = ϵ / 4 ν = ϵ /4
다음 증명은 김성민 학생 이 진행한다.